En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el análisis matemático o cálculo infinitesimal, una potentísima herramienta que revoluciono el tratamiento matemático de la física y la geometría, y que más tarde impregnaría las más diversas ramas de la matemática, como la estadística o la teoría de números.

Esencialmente, el cálculo infinitesimal consistía por una parte en analizar o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el comportamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constituía el cálculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideración (el llamado cálculo integral).

Es difícil que un lector que no tenga ya algunas nociones de cálculo pueda entender el párrafo anterior, pero las nuevas ideas eran aún más difíciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de texto que se publicó con el fin de explicarlas sistemáticamente fue el “Análisis” del marqués de L’Hopital. Veamos algunos pasajes:

La parte infinitamente pequeña en que una cantidad variable es aumentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad.

Siguiendo la notación leibniziana, L’Hopital explica que la letra d se usa para representar uno de estos incrementos infinitamente pequeños de una magnitud, de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc.

En ningún momento se precisa qué debemos entender por un aumento infinitamente pequeño de una cantidad, pero en compensación se presentan varias reglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo:

Postúlese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infinitamente pequeña pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo que es lo mismo) que una cantidad que esta incrementada o disminuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede considerarse que permanece constante.

Así, por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos

d(xy) = (x + dx)(y + dy) — xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx,

donde hemos despreciado el infinitésimo doble dxdy porque es infinitamente menor que los infinitésimos simples xdy e ydx.

Es fácil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospechas y polémicas. Baste citar el título del panfleto que en 1734 publico el obispo de Berkeley:

El analista, o discurso dirigido a un matemático infiel, donde se examina si los objetos, principios e inferencias del análisis moderno están formulados de manera más clara, o deducidos de manera más evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe.

Tabla de Contenido
Preámbulo
Introducción
Capítulo I: Los números reales
1.1. Cuerpos métricos
1.2. Convergencia de sucesiones
1.3. Desarrollos decimales
1.4. Sucesiones de Cauchy
1.5. Cuerpos ordenados completos
1.6. El cardinal del continuo
Capítulo II: Topología
2.1. Espacios topológicos
2.2. Bases y subbases
2.3. Productos y subespacios
2.4. Algunos conceptos topológicos
2.5. Continuidad
2.6. Lımites de funciones
2.7. Convergencia de sucesiones
2.8. Sucesiones y series numéricas
Capítulo III: Compacidad, conexión y completitud
3.1. Espacios compactos
3.2. Espacios localmente compactos
3.3. Espacios conexos
3.4. Espacios completos
3.5. Espacios de Hilbert
3.6. Espacios de funciones
3.7. El teorema de Baire
Capítulo IV: Calculo diferencial de una variable
4.1. Derivación
4.2. Calculo de derivadas
4.3. Propiedades de las funciones derivables
4.4. La diferencial de una función
4.5. El teorema de Taylor
4.6. Series de potencias
4.7. La función exponencial
4.8. Las funciones trigonométricas
4.9. Las funciones hiperbólicas
4.10. Primitivas
Capítulo V: Calculo diferencial de varias variables
5.1. Diferenciación
5.2. Propiedades de las funciones diferenciables
5.3. Curvas parametrizables
Capítulo VI: Introducción a las variedades diferenciables
6.1. Variedades
6.2. Espacios tangentes, diferenciales
6.3. La métrica de una variedad
6.4. Geodésicas
6.5. Superficies
6.6. La curvatura de Gauss
Capítulo VII: Ecuaciones diferenciales ordinarias
7.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
7.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior
7.3. Aplicaciones
Capítulo VIII: Teoría de la medida I
8.1. La medida de Jordan
8.2. Medidas
8.3. La medida de Lebesgue
8.4. Funciones medibles
8.5. La integral de Lebesgue
8.6. La integral de Lebesgue en R
Capítulo IX: Teoría de la medida II
9.1. Producto de medidas
9.2. El teorema de Riesz
9.3. Espacios Lp
9.4. Medidas signadas
9.5. Derivación de medidas
9.6. El teorema de cambio de variable
9.7. Integración en variedades
Apéndice A: La compleción de un espacio métrico
Apéndice B: Fracciones continuas
B.1. Propiedades básicas
B.2. Desarrollos de irracionales cuadráticos
B.3. Transformaciones modulares
B.4. El espacio de Baire
B.5. La fracción continua de e
Apéndice C: Resumen de dinámica clásica
C.1. El espacio y el tiempo
C.2. Cinemática de una partícula puntual
C.3. Fuerzas
C.4. Trabajo y energía
C.5. Dinámica de un sistema de partículas
C.6. Distribuciones continuas de materia
Bibliografía
Índice de Materias
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Fuente: Carlos Ivorra Castillo