En la historia de las matemáticas nos encontramos con muchos momentos en que los matemáticos han manejado con seguridad —por no decir con virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades básicas eran incapaces de precisar. El ejemplo típico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVI y XVII, que eran capaces de encontrar raíces reales de polinomios pasando, en caso de ser necesario, por raíces “imaginarias” de otros polinomios que aparecían a lo largo del cálculo. Los números imaginarios eran concebidos como unos conceptos ficticios en los que, sin saber cómo ni por qué, se podía “confiar”, en el sentido de que al incluirlos en los cálculos llevaban a conclusiones correctas.

Naturalmente, la razón por la que los cálculos con números complejos eran correctos es que es posible construir los números complejos, de tal modo que lo que hacían los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de teoremas que no sabían demostrar o siquiera enunciar (los números complejos forman un cuerpo, etc.)

Hay muchos otros casos similares: los físicos han estado derivando funciones no derivables durante mucho tiempo, con la convicción de que las derivadas eran unas “funciones generalizadas” que no sabían definir, pero en la que también “se podía confiar”. La razón por la que estos cálculos con funciones misteriosas que no eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto, que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedades que los físicos postulaban implícitamente en el uso que hacían de sus funciones generalizadas. También Kummer usé unos “divisores primos ideales” que no existían, y que finalmente formalizó Dedekind a través de la noción de ideal de un anillo, los propios números reales no estuvieron exentos de polémicas sobre sus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construcciones explícitas, etc.

El análisis no estándar es la respuesta última a una asignatura pendiente que tenía la matemática. En su origen, el cálculo diferencial se basó también en unos “números ideales” que nadie sabía definir porque tenían que ser no nulos y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los infinitésimos. Por ejemplo, Leibniz explicaba así el cálculo de la derivada de f (x) = x2: tomamos un infinitésimo dx, calculamos el incremento df = f (x+dx)-f (x) y lo dividimos entre la cantidad (no nula) dx.

Tabla de Contenido
Introducción
Capítulo I: Preliminares conjuntistas
1.1. Conjuntos
1.2. Los conceptos conjuntistas básicos
1.3. Elementos de teoría de conjuntos
1.3.1. Funciones
1.3.2. Relaciones
1.3.3. Conjuntos finitos
1.3.4. Estructuras algebraicas y de orden
1.3.5. Elementos de aritmética
1.4. La teoría de conjuntos no estándar
Capitulo II: Los números reales
2.1. Los números naturales
2.2. Cuerpos ordenados
2.3. Convergencia de sucesiones
2.4. La incompletitud de Q
2.5. La construcción de R
2.6. Consecuencias de la completitud de R
Capítulo III: Cálculo diferencial de una variable
3.1. La grafica de una función
3.2. Funciones continuas
3.3. Funciones derivables
3.4. Derivadas sucesivas, la fórmula de Taylor
3.5. Exponenciales y logaritmos
3.6. Limites de funciones
Capítulo IV: Cálculo integral de una variable
4.1. La integral de Riemann
4.2. Las funciones trigonométricas
4.3. Calculo de longitudes, áreas y volúmenes
Capítulo V: Series infinitas
5.1. Series numéricas
5.2. Sucesiones funcionales
5.3. Series de potencias
Capítulo VI: Cálculo diferencial de varias variables
6.1. Espacios métricos y espacios normados
6.2. Elementos de topología
6.3. Funciones continuas
6.4. Derivadas y diferenciales
6.5. El teorema de la función implícita
6.6. Optimización clásica
Capitulo VII: Cálculo integral de varias variables
7.1. Resultados básicos
7.2. Dominios de integración
7.3. Calculo de integrales
7.4. El teorema de la media
7.5. El teorema de cambio de variable
7.6. Áreas de superficies
7.7. Apéndice: Descomposición de aplicaciones lineales
Apéndice A: La teoría de Nelson
Apéndice B: La teoría de Hrbacek
Apéndice C: El teorema de conservación
C.1. Modelos internos
C.2. Ultrapotencias
C.3. Limites inductivos
C.4. El teorema de conservación para la teoría de Hrbacek
Bibliografía
Índice de Materias
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Fuente: Carlos Ivorra Castillo