Este libro es la continuación de mis libros de Teoría de conjuntos (al que haremos referencia como [TC] y Pruebas de consistencia (en lo sucesivo [PC]), y supone al lector familiarizado con los contenidos de ambos. De este modo, el lector debe conocer ya algunos ejemplos de los llamados “cardinales grandes” que vamos a estudiar aquí, como son los cardinales inaccesibles y los cardinales de Mahlo.
No existe ninguna definición precisa de “cardinal grande”, sino que se llama así a una familia de cardinales con definiciones y propiedades diversas, sin que ninguna de ellas en particular los caracterice como tales. No obstante, vamos a tratar de formarnos una idea sobre cuáles son esas propiedades.
Cardinal pequeños: Tratemos de precisar en primer lugar la idea de que cardinales podríamos considerar como “grandes”, en comparación con los cardinales que utilizan cotidianamente los matemáticos. Para empezar se nos presenta un problema, y es que en ese sentido 2ℵ0 no es en absoluto un cardinal grande, pues los matemáticos tratan habitualmente con conjuntos de este tamaño, e incluso mayores, como el conjunto de todas las funciones de R en R, pero no podemos estimar la magnitud de 2ℵ0 , que podría ser igualmente ℵ1 que ℵω5+7. Por consiguiente, no podemos afirmar si ℵ15 es un cardinal grande o pequeño.
Tabla de Contenido
Introducción
1. La escala de los cardinales grandes
Capítulo I: Ultrapotencias
1.1. Inmersiones elementales
1.2. Ultrapotencias de modelos transitivos
1.3. Ultrafiltros normales
1.4 Ultrafiltros iterables
1.5. Limites inductivos de modelos
1.6. Ultrapotencias iteradas
1.7. Ultrafiltros completamente iterables
1.8. Ultrafiltros iterables sobre L[A]
Capítulo II: Cardinales consistentes con V=L
2.1. El cálculo de particiones
2.2. Cardinales débilmente compactos
2.3. Cardinales indescriptibles
2.4. Cardinales inefables y sutiles
2.5. Arboles de Aronszajn
Capítulo III: Los indiscernibles de Silver
3.1. Indiscernibles en un modelo
3.2. Conjuntos de Ehrenfeucht-Mostowski
3.3. Consecuencias de la existencia de x]
3.4. Los sostenidos y la jerarquía de Levy
Capítulo IV: Cardinales de Erdős y de Ramsey
Capítulo V: Cardinales medibles
5.1. Ultrapotencias de la clase universal
5.2. El modelo L[U]
5.3. El orden de Mitchell
Capítulo VI: Cardinales débilmente medibles
6.1. Ideales saturados
6.2. Ultrapotencias genéricas
6.3. Saturación de ideales específicos
Capítulo VII: Cardinales fuertes y superfuertes
7.1. Extensores
7.2. Cardinales fuertes
7.3. Cardinales superfuertes
7.4. Cardinales de Woodin
7.5. Cardinales 1-extensibles
Capítulo VIII: Cardinales compactos y supercompactos
8.1. Cardinales compactos
8.2. Cardinales supercompactos
8.3. Cardinales extensibles
Capítulo IX: Los mayores cardinales grandes
9.1. Cardinales n-enormes
9.2. Cardinales enormes y superenormes
9.3. Los axiomas I
2. Pruebas de consistencia con cardinales grandes
Capítulo X: Iteraciones de Easton
10.1. Iteraciones con limites directos e inversos
10.2. Extensiones de inmersiones elementales
10.3. La HCG con cardinales grandes
10.4. Conservación de cardinales supercompactos
10.5. Violación de la HCG en un cardinal débilmente compacto
10.6. Violación de la HCG en un cardinal medible
Capítulo XI: La independencia de la HCS
11.1. Extensiones de Prikry
11.2. La HCG en cardinales singulares
11.3. La HCG en ℵω
Capítulo XII: El axioma de los preordenes propios
12.1. La consistencia de APP
12.2. El principio de reflexión de aplicaciones
12.3. Mas consecuencias de APP
12.4. El Axioma de Martin Máximo
Apéndice A: Extensiones con c.p.o.s pequeños
Bibliografía
Índice de Materias
Fuente: Carlos Ivorra Castillo
Este libro es la continuación de mis libros de Teoría de conjuntos (al que haremos referencia como [TC] y Pruebas de consistencia (en lo sucesivo [PC]), y supone al lector familiarizado con los contenidos de ambos. De este modo, el lector debe conocer ya algunos ejemplos de los llamados “cardinales grandes” que vamos a estudiar aquí, como son los cardinales inaccesibles y los cardinales de Mahlo.
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