El álgebra y la geometría elemental

El propósito de este libro es presentar dos teorías axiomáticas (y algunas teorías relacionadas) estrechamente vinculadas entre sí, a las que podríamos llamar el Álgebra elemental, y la Geometría elemental, porque en ellas se pueden formalizar prácticamente todos los resultados sobre el álgebra de los números reales y complejos (sin entrar en el cálculo diferencial) y la geometría euclídea clásica (sin llegar a argumentos «protoanalíticos» sobre pasos al límite en el cálculo de áreas, etc.)

Lo habitual es formalizar estos resultados en el seno de la teoría de conjuntos, y lo que hacen las teorías a las que nos referimos es independizar el álgebra y la geometría elemental de la teoría de conjuntos, por una parte, pero también de la aritmética elemental por otra, pues el álgebra elemental no permite formalizar, por ejemplo, resultados como que todo numero natural se descompone en producto de factores primos. Ese resultado es aritmético y no algebraico. De hecho, podríamos decir que el álgebra y la geometría elementales son esencialmente la porción del álgebra y de la geometría que es posible formalizar sin apoyarse en el aparato de la teoría de conjuntos y sin permitir que en ella puedan ser definidos los números naturales.

La ventaja de este doble aislamiento es que, por una parte —y al contrario de lo que sucede con la teoría de conjuntos— es posible demostrar que el álgebra y la geometría elemental son teorías consistentes y, por otra parte —al contrario de lo que sucede con la aritmética elemental— es posible demostrar que son completas. A su vez, esto implica que son decididles: existe un algoritmo que determina en un numero finito de pasos si una afirmación dada es demostrable o no en cualquiera de las dos teorías (si bien aplicarlo en la práctica requeriría tanto tiempo y tantos cálculos que no resulta viable).

Los resultados sobre completitud se deben a Tarski, al igual que la axiomática para la geometría euclídea que vamos a presentar aquí, que, al contrario que otras teorías axiomáticas, tiene la característica de emplear como términos primitivos únicamente los de «punto», «estar entre» y «ser congruente», de modo que todos los demás conceptos geométricos, incluyendo los de «recta», «plano» y, en general, el de «variedad de dimensión n», se definen a partir de estos.

Este libro es esencialmente autocontenido, en el sentido de que solo requiere del lector un conocimiento de lo que es un lenguaje formal y una teoría axiomática de primer orden. Solo en un momento dado, en la prueba de la consistencia del álgebra elemental, necesitaremos un resultado técnico no trivial que se demuestra utilizando el teorema de eliminación de cortes libres en el cálculo secuencial de Gentzen, para el que el lector será remitido a mi libro de Lógica Matemática. En algunos resultados secundarios, completamente prescindibles para los objetivos principales de este libro, remitiré a algunas propiedades sobre los cuerpos realmente cerrados demostradas en mi libro de Álgebra.

Toda teoría axiomática tiene limitaciones en su capacidad expresiva (en el sentido de que hay afirmaciones no formalizables en ella), pero en el caso de la teoría de conjuntos estas limitaciones quedan muy lejos de los enunciados que manejan la mayor parte de los matemáticos, y sólo requieren atención en áreas muy particulares en las que las clases propias representan un papel destacado, como la teoría de categorías o la teoría de conjuntos como especialidad matemática. En cambio, en este libro vamos a tener que explotar al máximo la capacidad expresiva de las teorías que vamos a manejar, especialmente en la parte del álgebra elemental, por lo que la principal preocupación del lector debería ser convencerse de que en ningún momento la estamos rebasando, de modo que todos los enunciados y razonamientos son realmente formalizables en el marco de trabajo considerado.

En el primer capítulo hemos incluido numerosas notas al pie con la intención de aclarar los puntos en los que esta posibilidad podría resultar dudosa. El problema principal es que no es posible mostrar explícitamente el modo en que los distintos enunciados y razonamientos se formalizan en las teorías consideradas porque ello llevaría a fórmulas inmanejables por su longitud y complejidad, por lo que en general tendremos que contentarnos con entender conceptualmente cómo se podrían escribir esas fórmulas sin necesidad de pararnos a escribirlas explícitamente.

Por otra parte, en la página 74 hemos incluido un ejemplo de la clase de razonamientos incorrectos a los que se puede llegar si no se tienen en cuenta las limitaciones de expresividad de las teorías que estamos considerando. Confiamos en que las notas y este ejemplo puedan bastar al lector para hacerse una idea exacta de las posibilidades reales de las teorías consideradas.

Fuente: Carlos Ivorra Castillo