Geometría Algebraica – Carlos Ivorra Castillo

La geometría algebraica estudia los sistemas de ecuaciones polinómicas con coeficientes en un cuerpo. Conviene comparar esta “definición” con otra más conocida: El álgebra lineal estudia los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en un cuerpo. Cualquiera que conozca el álgebra lineal reconocerá que esta es una buena forma de describirla en pocas palabras, pero también sabrá que en realidad el álgebra lineal trasciende su propósito original, de modo que es fácil encontrar libros de álgebra lineal en los que los sistemas de ecuaciones sean una herramienta secundaria. En efecto, el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales pasó hace mucho tiempo de ser una mera manipulación de fórmulas a convertirse en el estudio de una serie de estructuras algebraicas abstractas, como espacios vectoriales, variedades afines, anillos de matrices, etc., y las aplicaciones que las conectan. Estas estructuras permiten comprender en profundidad el comportamiento de los sistemas de ecuaciones lineales. Más aun, por una parte los conectan con la geometría, de modo que —por ejemplo— podemos pensar que la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas es el conjunto de puntos de la recta en que se cortan los dos planos determinados por las ecuaciones (salvo que estos sean paralelos o coincidentes, lo cual tiene también su interpretación en cuanto al comportamiento de las ecuaciones). Por otra parte, su nivel de generalidad permite aplicar sus técnicas y resultados y, en particular, el razonamiento geométrico, a muchos contextos en los que en principio no hay ninguna interpretación geométrica subyacente. Así, en el ejemplo de las dos ecuaciones lineales, todo lo dicho vale igualmente, aunque sus coeficientes pertenezcan, por ejemplo, a un cuerpo finito, de modo que las nociones de “recta” y “plano” no tienen ninguna interpretación intuitiva directa, si no es a través de la analogía que proporciona la propia álgebra lineal.

Sin entrar en detalles que el lector conocerá sobradamente, observemos únicamente que la forma de relegar a un segundo plano los sistemas de ecuaciones lineales para centrarse en las estructuras algebraicas derivadas de ellos consiste en centrar la atención en los conjuntos de soluciones de los sistemas, los cuales forman variedades afines, interpretables geométricamente como puntos, rectas, planos y generalizaciones a dimensiones superiores.

Todas estas observaciones y matices tienen sus equivalentes para el caso de la geometría algebraica. Pese a lo que su “definición” pudiera hacer pensar, se trata de una teoría algebraica muchísimo más profunda, rica y sofisticada que el álgebra lineal, que aparece en cuanto centramos la atención en los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones más que en los sistemas en sí. Dichos conjuntos forman variedades algebraicas, interpretables geométricamente como puntos, curvas, superficies y generalizaciones a dimensiones superiores.

Quizá la geometría algebraica debería llamarse mas propiamente “álgebra no lineal” o, tal vez, “álgebra geométrica”, para enfatizar así que no es realmente geometría sino que —al igual que el álgebra lineal— consiste en una serie de técnicas y conceptos algebraicos que en un contexto concreto tienen una interpretación geométrica natural, pero que son aplicables en muchos otros contextos, con lo cual podemos pensar geométricamente y aplicar ideas geométricas en casos donde la geometría sólo está presente como una mera analogía, mientras que todas las demostraciones son algebraicas y, a veces, muy distantes de cualquier interpretación geométrica directa.

Todo esto hace que si alguien quiere entender realmente la geometría algebraica tiene ante sí un doble objetivo: por una parte debe entender la conexión directa que existe entre el álgebra de la geometría algebraica y la geometría subyacente en el caso en que dicha geometría existe realmente como algo inde­pendiente del álgebra. Nos referimos al caso clásico en que los coeficientes de las ecuaciones son números complejos. Entonces las variedades algebraicas en el sentido la geometría algebraica son variedades diferenciales complejas en el sentido de la geometría diferencial, y todos los conceptos definibles algebraicamente se corresponden de forma natural con sus análogos geométricos y topológicos.

Por otra parte, es necesario entender que las técnicas algebraicas trascienden el caso clásico y son aplicables, como el álgebra lineal, cuando no es posible hablar de curvas y superficies en otro sentido que no sea el de la geometría algebraica.

Por ejemplo, veremos que es posible definir la noción de dimensión de una variedad algebraica mediante conceptos puramente algebraicos. En el caso clásico, esta dimensión algebraica coincide con la dimensión en el sentido de la geometría diferencial, pero es esencial que sigue teniendo sentido —por ejemplo— para variedades definidas mediante ecuaciones con coeficientes en un cuerpo finito, donde la geometría diferencial no tiene nada que decir. Del mismo modo, la geometría algebraica nos permite hablar de variedades tangentes, de derivadas y diferenciales, de ceros y polos de funciones, etc. sin necesidad de ninguna estructura topológica o diferencial subyacente. Esto la convierte en una herramienta muy valiosa para la teoría algebraica de números.

No debemos deducir de aquí que el único interés de la geometría algebraica es su generalidad, de modo que en el contexto clásico no aporta nada frente a la geometría diferencial. Al contrario, cuando una variedad diferencial compleja es algebraica (es decir, puede definirse mediante polinomios) entonces posee muchas propiedades globales de las que la geometría diferencial no puede dar cuenta. Por ejemplo, puede probarse que toda superficie de Riemann compacta puede representarse como una curva algebraica (las superficies de Riemann tienen dimensión real 2 pero dimensión compleja 1, por eso son curvas). A partir de aquí es posible desarrollar una rica teoría global sobre las funciones meromorfas sobre las superficies de Riemann compactas.

Fuente: Carlos Ivorra Castillo