Geometría Diferencial – Carlos Ivorra Castillo

En 1854 Bernhard Riemann presento su “Lección inaugural” en la universidad de Gotinga, necesaria para optar a una plaza de Privatdozent, es decir, de profesor sin sueldo (que cobraba directamente una cuota a los alumnos que quisieran asistir a sus clases). El tema de la lección era elegido por el tribunal entre tres temas propuestos por el aspirante. Riemann había propuesto dos temas en los que había trabajado previamente y “de relleno” añadió “Los fundamentos de la geometría”, con la convicción de que —siguiendo una tradición no escrita— el tribunal elegiría el primer tema.

Sin embargo, el presidente del tribunal era Karl Friedrich Gauss, quien lle­vaba mucho tiempo interesando en los fundamentos de la geometría y, aunque no había manifestado gran cosa en público, discrepaba radicalmente de quienes pretendían “demostrar” que la geometría euclídea era la única geometría posi­ble. Saltandose la tradición, Gauss eligió el tercer tema propuesto, y Riemann —cuya situación económica necesitaba urgentemente la plaza— cayó en una depresión.

No obstante, no tardo en recuperarse y en unas siete semanas estuvo en con­diciones de presentar su lección inaugural con el título de “Sobre las hipótesis en que se basa la geometría”. La exposición estuvo orientada a un público no es­pecialista, y por ello contenía muy pocas formulas. Ante una lectura superficial podría pensarse que no era más que una serie de vaguedades, pero una lectura atenta muestra que Riemann estaba resumiendo algunos resultados muy preci­sos. Riemann empezaba introduciendo vagamente el concepto de “variedad”, que concebía como un “espacio” en el que cada punto estaba determinado por “varias” coordenadas.

Hasta entonces la geometría se había estudiado siempre en el espacio tridi­mensional euclídeo, y el concepto de “curvatura” se concebía únicamente para curvas y superficies en el espacio, mientras que Riemann estaba planteando la posibilidad de trabajar con “espacios de coordenadas” sin suponerlos contenidos en el espacio euclídeo ni en ningún otro espacio. Riemann se planteaba como hablar de distancias en una variedad abstracta y llegó a bosquejar lo que hoy se conoce como una “métrica de Riemann”. Además planteo la conveniencia de trabajar en lo que hoy se llama un “sistema de coordenadas normales” y obtuvo expresiones para la métrica que involucraban unas cantidades que en esencia eran lo que hoy se conoce como el “tensor de Riemann” de una variedad de Riemann. Mas aún, puso en evidencia su relación con la curvatura de Gauss había definido para superficies en el espacio euclídeo, lo que abría las puertas a definir un concepto general de curvatura que permitiera afirmar, por ejemplo, que un espacio tridimensional fuera “curvo”, cosa inconcebible hasta entonces, si bien era una idea que Gauss llevaba largo tiempo acariciando, aunque sin saber concretarla.

Probablemente, pocos de los asistentes entendieron gran cosa, pero Gauss quedo encantado, y en el camino de vuelta de la facultad resalto con un entu­siasmo poco frecuente en el la profundidad de las ideas expuestas por Riemann.

La primera muestra detallada de los cálculos subyacentes a la exposición de Riemann aparece en un trabajo en latín que presento a la Academia de París en 1861, donde esboza la prueba de que si las cantidades con las que describía la curvatura de una variedad se anulan, entonces la variedad es “plana”, en el sentido de “isométrica al espacio euclídeo usual”. Estas ideas pronto empezaron a ser desarrolladas por otros matemáticos, como Elwin Bruno Christoffel, que en 1869 introdujo el concepto de derivada covariante, junto con los que hoy se conocen como “símbolos de Christoffel”.

Pero fue Gregorio Ricci-Curbastro quien sistematizo estas ideas entre 1867 y 1896, que fueron expuestas en 1898 en un trabajo publicado junto con su alumno Tullio Levi-Civita con el título de “Lecciones sobre la teoría de las superficies”. En 1901 Levi-Civita público ‘Métodos del cálculo diferencial absoluto y sus apli­caciones”, donde el “calculo diferencial absoluto” es lo que hoy se conoce como “calculo tensorial”.

Albert Einstein usó el tratado de Levi-Civita para estudiar el cálculo tenso- rial que usaría para desarrollar la teoría general de la relatividad. En 1915 Levi- Civita escribiá una carta a Einstein para señalarle varios errores matematicos en su uso del cálculo tensorial, y ambos iniciaron así una fructífera correspondencia que se prolongo varios años. (En una ocasión le preguntaron a Einstein que era lo que más le gustaba de Italia y respondía que los espagueti y Levi-Civita.)

Por aquel entonces, el cálculo tensorial era una jungla de subíndices y su- períndices que subían y bajaban de una formula a la siguiente, pero no tardaron en aparecer matemáticos que se esforzaron por encontrar un enfoque más con­ceptual que permitiera llegar a una comprensión más profunda de la teoría. El primero fue probablemente Elie Joseph Cartan, que ya en 1899 había introdu­cido el concepto moderno de “forma diferencial” con ayuda del cual desarrollaría una presentación muy elegante de la geometría de Riemann que, no obstante, fue vista como demasiado abstracta y no se impuso frente a los subíndices y superíndices de Ricci y Levi-Civita. Mucho más impacto tuvo el trabajo de Jean- Louis Koszul en 1954, con el título de “Lecciones sobre fibrados y geometría diferencial”, en el que introdujo el operador V para representar la derivada covariante. A partir de ahí se terminó creando una “geometría diferencial sin índices” o “intrínseca”, en la que los conceptos fundamentales de la geometría diferencial son objetos algebraicos abstractos globales, y las expresiones coorde­nadas (con índices) son solo representaciones auxiliares locales que en ocasiones son convenientes para realizar cálculos.

Fuente: Carlos Ivorra Castillo