Las matemáticas del cubo de Rubik

En este artículo mostramos cómo podemos utilizar el cubo de Rubik para presentar algunos conceptos básicos de la teoría de grupos y cómo podemos utilizar ésta para resolver el cubo de Rubik.

El cubo de Rubik es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Erno Rubik en 1974. Se trata de un cubo cuyas caras tienen cada una nueve pegatinas y que consta de un ingenioso dispositivo mecánico que permite que sus ca­ras giren y las pegatinas cambien de posición. El problema usual de este rompecabezas consiste en, a partir de una posición en la que las caras muestran pegatinas de distintos colores, realizar una sucesión de movimientos del cubo conseguir que las seis caras del cubo mues­tren un único color.

Uno de los propósitos de este artículo es comentar algunos de los aspectos más básicos de las matemáticas del cubo de Rubik. Estas matemáticas son una parte de la llamada «teoría de grupos». Por otra parte, algunos conceptos básicos de la teoría de grupos se pueden entender de una manera sencilla con ayuda del cubo de Rubik. No pretendemos que el lector sea capaz de resolver el cubo en un tiempo rápido. Existen muchos algoritmos que, con ayuda de mucha práctica, permiten esta tarea. Sin embargo, el lector podría utilizar algunos conocimientos básicos de la teoría de grupos para diseñar su propio algoritmo de resolución. También veremos por qué algunas configuraciones, como las correspondientes a intercambiar dos aristas o dos vértices, o torcer una arista, son imposibles. Además, contaremos cuántas configuraciones distintas puede tener el cubo de Rubik.

Esta presentación se ha llevado a cabo en una de las sesiones del programa ESTALMAT- Comunitat Valenciana (Programa de estímulo del talento matemático) dirigida a los alumnos veteranos, con edades comprendidas entre 14 y 16 años. También se ha desarrollado como se­sión complementaria a una asignatura de teoría de grupos en la licenciatura de Matemáticas en la Universitat de Valencia. La mayoría de las ideas proceden de [2].

Notación para el cubo de Rubik

La disposición de los colores en las caras del cubo puede variar de cubo en cubo. Por ello, es interesante disponer de una notación que no dependa de los colores que el fabricante haya querido utilizar en su cubo ni de la orientación, sino simplemente de su posición. En castellano nos referiremos a las caras mediante las iniciales de las siguientes palabras:

Elegimos estas palabras para que las iniciales sean todas diferentes dos a dos, a pesar de que alguna palabra pueda resultar algo extraña. Observemos que al girar una cara, la pegatina central de la cara mostrará siempre el mismo color. Por ello, identificamos cada cara mediante el color de su centro. Podemos usar ahora nuestras seis letras para designar las seis caras, así como varias piezas y posiciones. Por ejemplo, las cuatro piezas centrales de las aristas corres­pondientes a la cara A (en lo sucesivo, les diremos simplemente aristas), serán AD, AF, AI y AT, mientas que las cuatro piezas de los vértices correspondientes a la cara A (en lo sucesivo, simplemente vértices) serán ADF, AFI, AIT y ATD. Notemos que AD y DA son la misma pieza. Los colores de los vértices se ordenarán en el sentido de las manecillas del reloj. De este modo, ADF, DFA y FAD denotarán la misma pieza.

Fuente: Ramón Esteban Romero