Lógica y teoría de conjuntos – Carlos Ivorra Castillo

La lógica y su historia Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio del razonamiento. Esto hoy en día puede considerarse desbordado por la enorme extensión y diversidad que ha alcanzado esta disciplina, pero puede servirnos como primera aproximación a su contenido.

Un matemático competente distingue sin dificultad una demostración correcta de una incorrecta, o mejor dicho, una demostración de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le preguntéis que es lo que entiende por demostración, pues —a menos que además sepa lógica— no os sabrá responder, ni falta que le hace. El matemático se las arregla para reconocer la validez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio, de total fiabilidad. No necesita para su tarea contar con un concepto preciso de demostración. Eso es en cambio lo que ocupa al lógico: El matemático demuestra, el lógico estudia lo que hace el matemático cuando demuestra.

Aquí se vuelve obligada la pregunta de hasta qué punto tiene esto interés y hasta qué punto es una pérdida de tiempo. Hemos dicho que el matemático se las arregla solo sin necesidad de que nadie le vigile los pasos, pero entonces, ¿qué hace ahí el lógico? Posiblemente la mejor forma de justificar el estudio de la lógica sea dar una visión, aunque breve, de las causas históricas que han dado a la lógica actual tal grado de prosperidad.

En el sentido más general de la palabra, el estudio de la lógica se remonta al siglo IV a.C., cuando Aristóteles la puso a la cabeza de su sistema filosófico como materia indispensable para cualquier otra ciencia. La lógica aristotélica era bastante rígida y estrecha de miras, pero con todo pervivió casi inalterada, paralelamente al resto de su doctrina, hasta el siglo XVI. A partir de aquí, mientras su física fue sustituida por la nueva física de Galileo y Newton, la lógica simplemente fue ignorada. Se mantuvo, pero en manos de filósofos y en parte de los matemáticos con inclinaciones filosóficas, aunque sin jugar ningún papel relevante en el desarrollo de las ciencias. Leibniz le dio cierto impulso, pero sin abandonar una postura conservadora. A principios del siglo XIX, los trabajos de Boole y algunos otros empezaron a relacionarla más directamente con la matemática, pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante (aunque los trabajos de Boole cobraran importancia más tarde por motivos quizá distintos de los que el mismo tenía in mente).

Así pues, tenemos que, hasta mediados del siglo XIX, la lógica era poco más que una curiosidad que interesaba a quienes sentían alguna inquietud por la filosofía de la matemática o del pensamiento en general. La lógica como hoy la entendemos surgió básicamente con los trabajos de Frege y Peano. En principio estos eran, al igual que los anteriores, nuevos ensayos sobre el razonamiento, si bien más complejos y ambiciosos. Lo que les dio importancia fue que no aparecieron como productos de mentes inquietas, sino como culminación del proceso de formalización que la matemática venía experimentando desde los tiempos de Newton y Leibniz.

En efecto, el cálculo infinitesimal que estos trazaron con tanta imaginación y que después desarrollaron Cauchy, Gauss y otros, tuvo que ser precisado a medida que se manejaban conceptos más generales y abstractos. Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matemática hasta el punto de dejarla construida esencialmente a partir de los números naturales y de las propiedades elementales sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretendía ser el último eslabón de esta cadena. Trataron de dar reglas precisas que determinaran completamente la labor del matemático, explicitando los puntos de partida que había que suponer así como los métodos usados para deducir nuevos resultados a partir de ellos.

Si solo fuera por esto, probablemente este trabajo habría acabado como una curiosidad de presencia obligada en las primeras páginas de cada libro introductorio a la matemática y que continuaría interesando tan solo a los matemáticos con inclinaciones filosóficas. Pero sucedieron hechos que confirmaron la necesidad de la lógica como herramienta matemática. A finales del siglo XIX, Georg Cantor creó y desarrollo la parte más general y más abstracta de la matemática moderna: la teoría de conjuntos. No paso mucho tiempo sin que el propio Can­tor, junto con otros muchos, descubriera descaradas contradicciones en la teoría, es decir, se obtenían demostraciones de ciertos hechos y de sus contrarios, pero de tal forma que burlaban el ojo crítico del matemático, tan de fiar hasta enton­ces. Se obtenían pares de pruebas de forma que cada una por separado parecía irreprochable pero que ambas juntas eran inadmisibles.

Fuente: Carlos Ivorra Castillo